درسنامه آموزشی فصل دوم آمار و احتمال کلاس یازدهم ریاضی
درس 1: مبانی احتمال
آمار و احتمال به چه کار میآیند؟
فرض کنید کارشناسان یک کارخانهٔ تولید لوازم خانگی میخواهند برای سال آینده، تغییراتی در میزان تولید کالاهای کارخانه به وجود آورند؛ آنها باید مشخص کنند که سرمایهٔ کارخانه به چه نسبتهایی صرف تولید یخچال، کولر، اجاق گاز و... شود. با توجه به اینکه آنها در مورد آنچه در آینده رخ خواهد داد، اطمینان ندارند، چگونه میتوانند در این مورد تصمیمی درست بگیرند؟ چگونه میتوانند از بین دو پیشنهاد مختلف، یکی را بر دیگری ترجیح دهند؟
ابزارهای حلّ چنین مسائلی، که با ناآگاهی نسبی از شرایط و یا وقایع آینده همراه است، علم آمار و علم احتمال است.
به کمک علم آمار میتوان اطلاعات سالهای گذشته کارخانه را بهدرستی جمعآوری کرد و از آنها توصیفی مناسب از وضعیت تقاضای کالاهای مختلف بهدست آورد و سپس به سؤالهایی مانند «در سال آینده تقاضای یخچال، کولر، اجاق گاز و... چگونه خواهد بود؟» پرداخت. در قدم بعدی، علم احتمال کمک میکند که به بهترین تصمیم ممکن برسیم.
بهطور خلاصه بخشی از این دو علم بهنوعی در جهت عکس هماند: آنگاه که با جامعهای ناشناخته سروکار داریم، شناختن جامعه با استفاده از نمونهها و دادهها یک کار آماری است، ولی اگر جامعه را با جزئیات مورد نیاز بشناسیم و بخواهیم بدانیم نمونههایی از آن جامعه چگونه خواهند بود، علم احتمال بهکمک ما میآید. در شکل زیر، این موضوع نشان داده شده است؛ ظرفی که در آن مهرههای رنگی وجود دارد، مانند جامعه است و مهرههایی که در مشت هستند، مانند نمونهاند.
علم احتمال: بررسی یک نمونۀ نامعلوم از یک جامعۀ معلوم
علم آمار: شناختن جامعۀ نامعلوم، با استفاده از نمونههای جمعآوری شدۀ معلوم
کار در کلاس (صفحهٔ 41 کتاب درسی)
کدامیک از سؤالهای زیر مربوط به علم آمار و کدامیک مربوط به علم احتمال است؟ در هر مورد با دیگران گفتوگو کنید.
| صورت مسئله | آمار | احتمال |
| 1- می دانیم 90 تا از 100 سیب یک جعبه سالم است. چند تا سیب از جعبه برداریم، تا تقریباً مطمئن باشیم که دستکم یک سیب خراب برداشتهایم؟ | × | |
| 2- درآمد کارمندان شهرداری چقدر است؟ | × | |
| 3- 90 نفر از 105 دانشآموز پایه یازدهم به ورزش شنا علاقه دارند. اگر 20 نفر از این دانشآموزان را به تصادف انتخاب کنیم، چقدر ممکن است کمتر از 15 نفر از آنها به شنا علاقهمند باشند؟ | × | |
| 4- در انتخابات هفتم اسفند 1394، شهرستان سواد کوه شمالی با مشارکت بیش از 98/2 درصد رکورددار بوده است. اگر از 10 نفر واجد شرایط بپرسیم که آیا در انتخابات شرکت کردهاند یا خیر، چقدر ممکن است پاسخ بیش از یک نفر منفی باشد؟ | × | |
| 5- چه تعداد از دانشآموزان پایهٔ یازدهم مدرسه شما به ورزش شنا علاقه دارند؟ | × |
1) بهکمک علم آمار و با اطلاعات و نمونههای جمعآوری شده میتوان به این سؤال پاسخ داد. حداقل 91 سیب باید برداریم تا مطمئن باشیم حداقل یک سیب خراب است.
2) این سؤال را با جمعآوری اطلاعات و کار آماری میتوان پاسخ داد.
3) برای بررسی یک نمونهٔ نامعلوم از یک جامعهٔ معلوم به علم احتمال نیاز است.
4) برای بررسی یک نمونهٔ نامعلوم از یک جامعهٔ معلوم به علم احتمال نیاز است.
5- بهکمک آمار و اطلاعات میتوان به این سؤال جواب داد.
ریاضیدانها چگونه به علم احتمال میپردازند؟
ریاضیدانان معمولاً برای حلّ مسائل سخت و پیچیده، ابتدا کار را از طراحی و حلّ مسائلی ساده شروع میکنند و سپس قدم به قدم با ساختن بنایی استوار از تعاریف، مفاهیم، قضیهها و ... به سراغ مسائلی میروند که شاید در نگاه اوّل دستنیافتنی به نظر میرسیدند. بیایید مانند ریاضیدانها مسئلهٔ سادهای را که در آن اطمینان وجود ندارد، بررسی کنیم:
فعالیت (صفحهٔ 41 کتاب درسی)
برقکاری نیاز به یک لامپ سالم دارد. دو جعبه داریم که در اوّلی و دومی، بهترتیب، 5 و 20 لامپ وجود دارد، ولی فقط برخی از این لامپها سالماند؛ در اوّلی سه لامپ و در دومی 13 لامپ سالم است. او باید یکی از دو جعبه را انتخاب کند و از آن جعبه یک لامپ، بهتصادف، بردارد. به نظر شما، او بهتر است کدام جعبه را انتخاب کند؟
جواب این سؤال ساده است: در جعبهٔ اوّل 60 درصد و در جعبهٔ دوم 65 درصد لامپها سالماند، پس بهتر است جعبهٔ دوم را انتخاب کند.
اکنون فرض کنید دو جعبه همان شرایط را دارند، ولی برقکار از آن جعبه، دو لامپ، بدون آزمایش، بردارد. به نظر شما، او بهتر است کدام جعبه را انتخاب کند؟
در این حالت، تصمیمگیری بهسادگی حالت اوّل نیست.
اگر بخواهیم از جعبهٔ اول دو لامپ انتخاب کنیم به $\left( \begin{matrix}
5 \\
2 \\
\end{matrix} \right)$ روش میتوانیم این کار را انجام دهیم و به $\left( \begin{matrix}
3 \\
2 \\
\end{matrix} \right)$ روش هم میتوانیم دو لامپ سالم انتخاب کنیم. پس برای جعبهٔ اول احتمال دو لامپ سالم برابر است با:
$P\left( B \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( S \right)}=\frac{\left( \begin{matrix}
3 \\
2 \\
\end{matrix} \right)}{\left( \begin{matrix}
5 \\
2 \\
\end{matrix} \right)}=\frac{3}{10}=0/3$
و اگر بخواهیم از جعبهٔ دوم دو لامپ انتخاب کنیم به $\left( \begin{matrix}
20 \\
2 \\
\end{matrix} \right)$ روش میتوانیم این کار را انجام دهیم و به $\left( \begin{matrix}
13 \\
2 \\
\end{matrix} \right)$ روش هم میتوانیم دو لامپ سالم انتخاب کنیم. پس برای جعبهٔ دوم احتمال انتخاب دو لامپ سالم برابر است با:
$P\left( B \right)=\frac{n\left( B \right)}{n\left( S \right)}=\frac{\left( \begin{matrix}
13 \\
2 \\
\end{matrix} \right)}{\left( \begin{matrix}
20 \\
2 \\
\end{matrix} \right)}=\frac{78}{190}=0/41$
از آنجاییکه احتمال اینکه هر دو لامپ سالم باشد، در جعبهٔ دوم بیشتر است پس بهتر است جعبهٔ دوم را انتخاب کنید.
کار در کلاس (صفحهٔ 42 کتاب درسی)
به چند حالت مختلف میتوان 2 لامپ را یکی پس از دیگری از بین 5 لامپ جعبهٔ اوّل مذکور انتخاب کرد؟ $2\times 1=2$
در چند حالت هر دو لامپ معیوب است؟ $2\times 1=2$
مشابه همین سؤالها را در مورد جعبهٔ دوم بررسی کنید.
تعداد حالتهای انتخاب دو لامپ بهترتیب $20\times 19=380$ است و در $7\times 6=42$ حالت هر دو معیوب هستند.
با توجه به نتایج، انتخاب کدام جعبه را برای حالت دوم بهتر میدانید؟
اگر بخواهیم لامپها را بهترتیب انتخاب کنیم در جعبهٔ اول احتمال معیوب بودن هر دو لامپ $\frac{2}{20}=0/10$ است. در جعبهٔ دوم احتمال معیوب بودن هر دو لامپ $\frac{42}{380}\simeq 0/11$ است.
پس در این حالت احتمال معیوب بودن هر دو لامپ در جعبهٔ دوم بیشتر است، لذا انتخاب جعبهٔ اول بهتر میباشد.
البته این در شرایطی است که بخواهیم:
1) لامپها را انتخاب کنیم.
2) حداقل یکی از لامپها سالم باشد.
چنین مسائلی هر چند ساختگیاند، ولی ماهیت آنها بسیار شبیه همان مسئلهای است که کارشناسان کارخانه با آن مواجه بودند: تصمیمگیری برای آیندهای که در مورد وقایع آن اطمینان نداریم.
ترجمهٔ زبان گزارهها به زبان مجموعهها
معمولاً وقتی از احتمال رخ دادن رویدادی صحبت میکنیم، آن رویداد را به شکل یک گزاره بیان میکنیم؛ مثلاً میگوییم احتمال اینکه «فردا باران ببارد»، احتمال اینکه «نتیجهٔ مسابقهٔ فوتبال هفتهٔ آینده تساوی شود»، احتمال اینکه «متهم دستگیر شده، مجرم باشد» و ...
ولی ریاضیدانان گاهی بهشکل دیگری احتمال را بهکار میبرند. برای روشن شدن این موضوع، همان مثال قبلی را به یاد بیاورید: فرض کنید برقکار جعبهٔ اوّل را انتخاب کرده و میخواهد از بین 5 لامپ یکی را بردارد. لامپها را شمارهگذاری میکنیم به نحوی که شمارههای 1 تا 3 سالم و شمارههای 4 و 5 معیوب باشند.
شمارهٔ لامپی که بیرون کشیده میشود برای برقکار معلوم نیست، ولی به هر حال یکی از اعضای مجموعهٔ زیر است:
$S=\left\{ 1,2,3,4,5 \right\}$
همانطور که میدانید در علم احتمال به این مجموعه «فضای نمونه» گفته میشود.
برقکار در صورتی راضی میشود که لامپ انتخابی سالم باشد و این یعنی اینکه شمارهٔ لامپ 1، 2 یا 3 باشد. در اینصورت این اتفاق را هم میتوان با یک زیرمجموعهٔ فضای نمونه مشخص کرد:
$A=\left\{ 1,2,3 \right\}$
همانطور که در سالهای گذشته خواندهاید در علم احتمال به این زیرمجموعهها «پیشامد» گفته میشود.
در زبان علم احتمال به جای اینکه بگوییم «لامپ انتخاب شده سالم باشد»، میتوانیم بگوییم «پیشامد A رخ دهد» و بهجای اینکه بگوییم «احتمال سالم بودن لامپ انتخابی»، میتوانیم بگوییم «احتمال رخ دادن A». عبارت اخیر خلاصهشدهٔ این عبارت است «احتمال اینکه شمارهٔ لامپ انتخابی عضو A باشد».
کار در کلاس (صفحهٔ 43 کتاب درسی)
زهرا و شبنم در مورد سؤالی که دربارهٔ پرتاب یک تاس سالم در کلاس مطرح شده با هم صحبت میکنند. به نظر شما چه کسی درست میگوید؟
- زهرا: فضای نمونه در این مسئله مجموعهٔ $\left\{ 1,2,...,6 \right\}$ است.
- شبنم: بله، من هم موافق هستم. سؤالی که خانم معلم پرسیدند این است که اگر تاس را پرتاب کنیم و عدد 2 بیاید، آیا پیشامد $\left\{ 2,4,6 \right\}$ رخ داده است؟
- زهرا: به نظرم نه، چون 4 و 6 هم علاوه بر 2 عضو این پیشامدند.
- شبنم: ولی من فکر میکنم این پیشامد رخ داده است، چون این پیشامد، شامل عدد 2 است.
- زهرا: پس 4 و 6 که نیامدند چه؟
- شبنم: یعنی باید آنها هم در پرتاب تاس آمده باشند تا بگوییم آن پیشامد رخ داده است؟ اصلاً اینطور که شما فکر میکنید، چگونه ممکن است پیشامد $\left\{ 2,4,6 \right\}$ رخ دهد؟ مگر میشود تاسی را پرتاب کنیم و سه مقدار مختلف با هم ظاهر شود؟!
خیر، این امکان وجود ندارد که در پرتاب یک تاس همزمان 3 مقدار مختلف با هم ظاهر شوند.
با توجه به مفهوم «رخ دادن یک پیشامد» میفهمیم که اگر ${{A}_{1}}$ و ${{A}_{2}}$ دو پیشامد باشند، آنگاه:
الف) اگر ${{A}_{1}}$ زیرمجموعهٔ ${{A}_{2}}$ باشد، رخ دادن ${{A}_{1}}$ رخ دادن ${{A}_{2}}$ را نتیجه میدهد.
ب) رخ دادن پیشامد ${{A}_{1}}\bigcap {{A}_{2}}$، یعنی هر دو پیشامد ${{A}_{1}}$ و ${{A}_{2}}$ رخ دهد.
پ) رخ دادن پیشامد ${{A}_{1}}\bigcup {{A}_{2}}$، یعنی دست کم یکی از دو پیشامد ${{A}_{1}}$ و ${{A}_{2}}$ رخ دهد.
تشخیص فضای نمونه
هرگاه بخواهیم مسئلهای را با کمک علم احتمال بررسی کنیم قدم اوّل شناختن فضای نمونه است. همانطور که گفته شد فضای نمونه مجموعهای است که اعضای آن، که به آنها برآمد میگوییم، مشخص میکنند که نتیجهٔ آزمایش یا مشاهدهای که در حال بررسی آن هستیم چه حالتهایی دارد؛ مثلاً در پرتاب یک تاس، مجموعهٔ تشخیص فضای نمونه هرگاه بخواهیم مسئلهای را با کمک علم احتمال بررسی کنیم قدم اوّل شناختن فضای نمونه است. همانطور که گفته شد فضای نمونه مجموعهای است که اعضای آن، که به آنها برآمد میگوییم، مشخص میکنند که نتیجهٔ آزمایش یا مشاهدهای که در حال بررسی آن هستیم چه حالتهایی دارد؛ مثلاً در پرتاب یک تاس، مجموعهٔ $\left\{ 1,2,...,6 \right\}$ فضای نمونه است.
اگر بخواهیم نتایج حاصل از پرتاب دو تاس را بررسی کنیم از عمل ضرب دکارتی مجموعهها استفاده میکنیم؛ مجموعهٔ $\left\{ 1,2,...,6 \right\}\times \left\{ 1,2,...,6 \right\}$ که 36 عضو دارد فضای نمونه است. البته لازم است که یکی از تاسها را تاس اول و دیگری را تاس دوم بنامیم تا مشخص شود که معنای برآمد $\left( 1,2 \right)$ چیست. توجه داشته باشید که برآمد غیر از برآمد $\left( 2,1 \right)$ است.
مثال: یک رانندهٔ تاکسی خطی، در ایستگاه منتظر میایستد تا حداکثر چهار مسافر سوار کند. البته ممکن است با کمتر از چهار مسافر نیز حرکت کند. در مسیر برگشت نیز همین اتفاق میافتد. فضای نمونه برای توصیف چنین پدیدهای، اگر فقط تعداد مسافرها در دو مسیر رفت و برگشت برای ما مهم باشد، چیست؟
حل: با توجه به اینکه تعداد این دو نوع مسافر در رفت و در برگشت عددی بین صفر و چهار است، میتوان مجموعهٔ زیر را فضای نمونه گرفت:
$S=\left\{ 0,1,2,3,4 \right\}\times \left\{ 0,1,2,3,4 \right\}$
در این فضای نمونه، منظور از برآمد $\left( 1,2 \right)$ این است که تاکسی با 1 مسافر حرکت کرده و در برگشت 2 مسافر سوار کرده است.
اصول احتمال
در حالت کلی شناختن فضای نمونه برای توصیف یک رویداد تصادفی کافی نیست. علاوه بر آن لازم است که بدانیم احتمال رخ دادن پیشامدهای مختلف که زیرمجموعههای فضای نمونهاند، چقدر است. این موضوع را در درس بعد که در مورد احتمال غیرهمشانس است بهتر متوجه خواهید شد.
بهعنوان مثال، به وضعیت آب و هوای قلهٔ دماوند در صبح نوروز سال آینده فکر کنید؛ میتوان فضای نمونه را این چنین در نظر گرفت:
{آفتابی، ابری}
آیا چون فضای نمونه دو عضوی است باید احتمال هر کدام 50 درصد باشد؟
ممکن است کسی فضای نمونه را به شکل زیر انتخاب کند:
{آفتابی، ابری بدون بارندگی، بارش باران، بارش برف، بارش تگرگ}
در این صورت آیا چون فضای نمونه پنج عضو دارد، باید احتمال هر کدام 20 درصد باشد؟
اگر کسی به هر دو سؤال بالا جواب مثبت دهد، پس احتمال آفتابی بودن را یکبار 50 درصد و یک بار 20 درصد دانسته است!
خواندنی: یک اشتباه تاریخی
مشهور است که دالامبر (Jean Baptiste le Rond d'Alembert)، ریاضیدان، فیزیکدان، فیلسوف و دائرةالمعارفنویس فرانسوی قرن هجدهم، تصور میکرد که اگر یک سکه را دو بار پرتاب کنیم، احتمال اینکه دقیقاً یکبار رو بیاید، برابر یک سوم است. او اینگونه استدلال میکرد:
در چنین آزمایشی سه حالت وجود دارد: «هر دو رو»، «هر دو پشت» و «یکبار رو و یکبار پشت». درنتیجه احتمال وقوع هریک از این حالات یک سوم است!
همانطور که گفته شد نکته این است در یک فضای نمونه برآمدهای مختلف ممکن است احتمال برابر نداشته باشند. در این حالت، محاسبهٔ احتمال برآمدها و پیشامدها ممکن است ساده نباشد، ولی احتمال پیشامدهای مختلف حتماً باید ویژگیهایی داشته باشد که به آنها اصول احتمال میگویند:
قضیه
در مورد هر فضای نمونه، گزارههای زیر درست است:
1- $P\left( {{A}'} \right)=1-P\left( A \right)$
2- $P\left( \varnothing \right)=0$
3- اگر A و B و C پیشامدهایی دو به دو ناسازگار باشند، آنگاه
$P\left( A\bigcup B\bigcup C \right)=P\left( A \right)+P\left( B \right)+P\left( C \right)$
(این قسمت را میتوان برای هر تعداد پیشامد نیز تعمیم داد).
4- برای هر دو پیشامد دلخواه A و B داریم $P\left( A-B \right)=P\left( A \right)-P\left( A\bigcap B \right)$.
5- برای هر دو پیشامد دلخواه A و B داریم: $P\left( A\bigcup B \right)=P\left( A \right)+P\left( B \right)-P\left( A\bigcap B \right)$
اثبات:
1- به این موضوع توجه کنید که $A$ و ${A}'$ دو پیشامد ناسازگارند و اجتماع آنها برابر $S$ و میشود، داریم:
$1=P\left( S \right)=P\left( A\bigcup {A}' \right)=P\left( A \right)+P\left( {{A}'} \right)$
در نتیجه $P\left( {{A}'} \right)=1-P\left( A \right)$.
2- با توجه به اینکه $\varnothing $ متمم S است داریم:
$P\left( \varnothing \right)=1-P\left( S \right)=1-1=0$
3- توجه کنید که $A$ و $B\bigcup C$ نیز دو پیشامد ناسازگارند و لذا
$P\left( A\bigcup B\bigcup C \right)=P\left( A\bigcup \left( B\bigcup C \right) \right)=P\left( A \right)+P\left( B\bigcup C \right)=...$
4- واضح است که $A=\left( A-B \right)\bigcup \left( A\bigcap B \right)$ و پیشامدهای $A-B$ و $A\bigcap B$ ناسازگارند، پس
$P\left( A \right)=P\left( A-B \right)+P\left( A\bigcap B \right)$
و این نتیجه میدهد که $P\left( A-B \right)=P\left( A \right)-P\left( A\bigcap B \right)$.
5- توجه کنید که $A\bigcup B=B\bigcup \left( A-B \right)$ و بهعلاوه دو پیشامد $B$ و $A-B$ ناسازگارند. در نتیجه
$P\left( A\bigcup B \right)=P\left( B \right)+P\left( A-B \right)$
با استفاده از شمارهٔ 4 حکم نتیجه میشود. (چرا؟)
کار در کلاس (صفحهٔ 46 کتاب درسی)
مشخص کنید که در هر قسمت دو پیشامدی که آمده است با هم سازگارند یا ناسازگار؟
1- دانشآموزی که به تصادف از کلاس انتخاب میکنید،
A: متولد ماه مهر باشد،
B: متولد فصل تابستان باشد.
ناسازگار هستند، زیرا ماه مهر در فصل تابستان نیست و ممکن نیست یک نفر هم متولد ماه مهر باشد و هم در تابستان به دنیا آمده باشد، پس امکان ندارد این دو پیشامد با هم رخ دهد.
2- سکهای که سه بار پرتاب میکنید،
A: هر سه بار مشابه بیاید؛
B: زوج بار رو بیاید.
سازگار هستند، زیرا اگر صفر بار رو بیاید و 3 بار پشت بیاید هم پیشامد A رخ داده است و هم پیشامد B (دقت کنید که صفر عددی زوج محسوب میشود.)
3- فردا
A: خورشید در آسمان دیده شود،
B: باران ببارد.
سازگار است، این دو پیشامد میتواند همزمان اتفاق بیافتد و چیز عجیبی نیست.
4- تاسی را پیدرپی پرتاب میکنید،
A: برای اولین بار در مرتبهٔ سوم 6 بیاید.
B: تا پرتاب سوم دو بار 6 بیاید.
ناسازگار است، زیرا امکان ندارد هم تا پرتاب سوم دو بار 6 بیاید و هم اولین بار در مرتبهٔ سوم 6 بیاید.
تمرین (صفحهٔ 47 کتاب درسی)
احمد و عباس با هم یک مرتبه سنگ، کاغذ، قیچی بازی میکنند.
فضای نمونه برای این بازی چیست؟
فضای نمونه چند عضو دارد؟
سه حالت برای احمد و سه حالت برای عباس وجود دارد. بنابراین فضای نمونه $3\times 3=9$ عضو دارد.
در چه تعداد از برآمدها احمد برندهٔ بازی است؟
در 3 تا از برآمدها (در 3 حالت احمد برنده است، در 3 حالت عباس برنده است و در 3 حالت مساوی هستند.) اگر مؤلفهٔ اول احمد و مؤلفهٔ دوم عباس باشد:
(کاغذ و قیچی)، (سنگ و کاغذ)، (قیچی و سنگ) $\to $ احمد برنده است
(قیچی و کاغذ)، (سنگ و سنگ)، (سنگ و قیچی) $\to $ عباس برنده است
(قیچی و قیچی)، (کاغذ و کاغذ)، (سنگ و سنگ) $\to $ مساوی هستند
2- یک تیم والیبال 14 عضو دارد که قد هیچ دو عضوی برابر نیست. فرض کنید آنها یکی پس از دیگری وارد سالن میشوند. اگر برای ما فقط ترتیب قدّ آنها اهمیت داشته باشد، فضای نمونه را توصیف کنید. اگر اعضای تیم کاملاً تصادفی وارد سالن شده باشند، احتمال اینکه اوّلین کسی که وارد میشود، بلند قدترین عضو تیم باشد چقدر است؟
فضای نمونه یعنی مجموعهٔ کل حالتهای ممکن، در اینجا به هر ترتیبی که اعضا بایستند یکی از حالتهای ممکن اتفاق میافتد یعنی در واقع تعداد اعضای نمونه برابر است با تعداد جایگشتهای 14 نفر که برابر است با $14!$
$n\left( S \right)=14!$
برای محاسبهٔ احتمال اینکه اولین کسی که وارد میشود بلندقدترین عضو تیم باشد، فرض میکنیم فرد X بلندقدترین عضو تیم باشد و تعداد جایگشتهای این 14 نفر به شرطی که X نفر اول باشد را میشماریم که برابر است با $13!$، زیرا X را نفر اول قرار میدهیم و بقیه افراد به $13!$ طریق میتوانند کنار هم بایستند، پس احتمال اینکه X نفر اول باشد برابر است با:
$P\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( S \right)}=\frac{13!}{14!}=\frac{13}{14\times 13!}=\frac{1}{14}$
3- در یک ایستگاه هواشناسی، در هر لحظه وضعیت آب و هوا با پنج چیز مشخص میشود: دمای هوا، رطوبت هوا، سرعت باد، وضعیت هوا (صاف یا ابری) و مقدار بارش در 24 ساعت گذشته. ما برای سادگی، وضعیت آب و هوا را به این شکل خلاصه میکنیم: آیا از نظر دما سرد یا گرم است؟ آیا از نظر رطوبت خشک یا مرطوب است؟ آیا باد میوزد یا نمیوزد؟ آیا هوا صاف، نیمه ابری یا ابری است؟ و آیا در 24 ساعت گذشته بارندگی رخ داده است یا خیر؟ برای وضعیت هوا در یک لحظه در یک ایستگاه هواشناسی فضای نمونه را به شکل حاصل ضرب دکارتی چند مجموعه بنویسید. این فضا چند عضو دارد؟
$2\times 2\times 2\times 3\times 2=48$
4- فقط با استفاده از اصول احتمال و قضایای اثبات شده، گزارههای زیر را ثابت کنید:
الف) اگر $B\subseteq A$ داریم: $P\left( A-B \right)=P\left( A \right)-P\left( B \right)$.
با توجه به مبحث فصل قبل میدانیم اگر $B\subseteq A$ آنگاه $A\bigcap B=B$
و با توجه به قضیهٔ شماره 4 صفحهٔ 45 کتاب درسی) میدانیم:
$P\left( A-B \right)=P\left( A \right)-P\left( A\bigcap B \right)=P\left( A \right)-P\left( B \right)$
ب) اگر $B\subseteq A$، آنگاه $P\left( B \right)\le P\left( A \right)$
روش اول:
$B\subseteq A\Rightarrow n\left( B \right)\le n\left( A \right)\xrightarrow{\div n\left( S \right)}\frac{n\left( B \right)}{n\left( S \right)}\le \frac{n\left( A \right)}{n\left( S \right)}\Rightarrow P\left( B \right)\le P\left( A \right)$
روش دوم: با توجه به قسمت الف میدانیم اگر $B\subseteq A$ باشد آنگاه $P\left( A-B \right)=P\left( A \right)-P\left( B \right)$ از آنجاییکه احتمال هر پیشامدی همواره عددی بین صفر تا یک است، پس $P\left( A-B \right)\ge 0$ لذا:
$P\left( A \right)-P\left( B \right)\ge 0\Rightarrow P\left( A \right)\ge P\left( B \right)$
به این طریق حکم مسئله اثبات میشود.
5- عددی به تصادف از بین اعداد 1 تا 100 انتخاب میکنیم. احتمالهای زیر را محاسبه کنید:
الف) عدد انتخابی بر 2 یا 3 بخشپذیر باشد.
فرض میکنیم A پیشامد این باشد که عدد انتخابی بر 2 بخشپذیر باشد و B پیشامد این باشد که عدد انتخابی بر 3 بخشپذیر باشد.
احتمال اینکه عدد انتخابی بر 2 یا 3 بخشپذیر باشد، یعنی همان $P\left( A\bigcup B \right)$
برای محاسبهٔ $P\left( A\bigcup B \right)$ از رابطهٔ معروف زیر میتوانیم استفاده کنیم:
$P\left( A\bigcup B \right)=P\left( A \right)+P\left( B \right)-P\left( A\bigcap B \right)$
پس نیاز به محاسبهٔ $P\left( A\bigcup B \right)$ هم داریم، یعنی احتمال اینکه عدد انتخابی هم بر 2 و هم بر 3 بخشپذیر باشد. حال تکتک احتمالات لازم را محاسبه میکنیم:
با توجه به توضیحاتی که در ایستگاههای یادگیری گفتیم، داریم:
$\to \left[ \frac{100}{2} \right]=\left[ 50 \right]=50$ تعداد اعداد بخشپذیر بر 2 در بین اعداد 1 تا 100
$\to \left[ \frac{100}{3} \right]=\left[ 33/3 \right]=33$ تعداد اعداد بخشپذیر بر 3 در بین اعداد 1 تا 100
$\to \left[ \frac{100}{6} \right]=\left[ 16/6 \right]=16$ تعداد اعداد بخشپذیر بر 6 در بین اعداد 1 تا 100
اعدادی که بر 2 و 3 بخشپذیرند همان اعدادی هستند که بر 6 بخشپذیرند.
ب) عدد انتخابی بر 2 بخشپذیر باشد، ولی به 3 بخشپذیر نباشد.
در قسمت الف فرض کردیم A پیشامد این باشد عدد انتخابی بر 2 بخشپذیر باشد و B پیشامد این باشد که عدد انتخابی بر 3 بخشپذیر باشد.
در اینجا میخواهیم پیشامد A رخ دهد ولی پیشامد B رخ ندهد، پس باید $P\left( A-B \right)$ را محاسبه کنیم:
$P\left( A-B \right)=P\left( A \right)-P\left( A\bigcap B \right)=\frac{50}{100}-\frac{16}{100}=\frac{34}{100}$
پ) عدد انتخابی نه بر 2 بخشپذیر باشد و نه بر 3.
با توجه به تعریف مجموعهٔ A و B در اینجا باید $P\left( {A}'\bigcap {B}' \right)$ را محاسبه کنیم:
$P\left( {A}'\bigcap {B}' \right)=P\left( {{\left( A\bigcup B \right)}^{\prime }} \right)=1-P\left( A\bigcup B \right)=1-\frac{67}{100}=\frac{33}{100}$
$P\left( {A}'\bigcap {B}' \right)$ یعنی احتمال اینکه نه A رخ دهد و نه B.